$$
(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i}y^{i}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{i}y^{n-i}
$$

证明：数学归纳法：

下界：当$\displaystyle n=1$时，$(x+y)^1=\sum_{i=0}^{1}{1\choose i}x^{1-i}y^{i}={1\choose 0}x^{1}y^{0}+{1\choose 1}x^{0}y^{1}=x+y$，此时定理显然成立

那么当 $n$ 成立时，对于 $n+1$ 有：

$$
(x+y)^{n+1}
$$

拆出一个$(x+y)$

$$
=x(x+y)^n+y(x+y)^n
$$

按定理代入

$$
=x\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i}y^{i}+y\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}x^{n-j}y^{j}
$$

把 $x$ 和 $y$ 乘进去

$$
=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}
$$

取出首和尾

$$
=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{j=0}^{n-1}{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}+y^{n+1}
$$

把 $j$ 换成 $i-1$

$$
=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i-1}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}
$$

合并两个sum

$$
=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}\bigg({n\choose i}+{n\choose i-1}\bigg)x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}
$$

根据组合数的性质合并两个组合数的和[^1]

$$
=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n+1\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}
$$

因为 $1={n+1\choose 0}$ 且 $1={n+1\choose n+1}$ ，所以可以把 $x^{n+1}$ 和 $y^{n+1}$ 合并入sum

$$
=\sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose i}x^{(n+1)-i}y^{i}
$$

显然仍符合二项式定理

证毕

其实还有更简单的感性理解一下：

考虑组合数定义，每种二项式得到的次数可以看作你在 $n$ 个数对中选出其中一项的指数个的不同的方案数，也就是${n\choose 指数}$，加起来就成了整个式子。

[^1]: ${n\choose m}={n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}$，$n$个数里选$k$个数的方案数即：选当前这个数和不选这个数的方案数的和