(x+y)n=∑i=0n(ni)xn−iyi=∑i=0n(ni)xiyn−i(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i}y^{i}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{i}y^{n-i}

证明：数学归纳法：

下界：当n=1\displaystyle n=1时，(x+y)1=∑i=01(1i)x1−iyi=(10)x1y0+(11)x0y1=x+y(x+y)^1=\sum_{i=0}^{1}{1\choose i}x^{1-i}y^{i}={1\choose 0}x^{1}y^{0}+{1\choose 1}x^{0}y^{1}=x+y，此时定理显然成立

那么当 nn 成立时，对于 n+1n+1 有：

(x+y)n+1(x+y)^{n+1}

拆出一个(x+y)(x+y)

=x(x+y)n+y(x+y)n=x(x+y)^n+y(x+y)^n

按定理代入

=x∑i=0n(ni)xn−iyi+y∑j=0n(nj)xn−jyj=x\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i}y^{i}+y\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}x^{n-j}y^{j}

把 xx 和 yy 乘进去

=∑i=0n(ni)xn−i+1yi+∑j=0n(nj)xn−jyj+1=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}

取出首和尾

=xn+1+∑i=1n(ni)xn−i+1yi+∑j=0n−1(nj)xn−jyj+1+yn+1=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{j=0}^{n-1}{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}+y^{n+1}

把 jj 换成 i−1i-1

=xn+1+∑i=1n(ni)xn−i+1yi+∑i=1n(ni−1)xn−i+1yi+yn+1=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+\sum_{i=1}^{n}{n\choose i-1}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}

合并两个sum

=xn+1+∑i=1n((ni)+(ni−1))xn−i+1yi+yn+1=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}\bigg({n\choose i}+{n\choose i-1}\bigg)x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}

根据组合数的性质合并两个组合数的和[^1]

=xn+1+∑i=1n(n+1i)xn−i+1yi+yn+1=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{n+1\choose i}x^{n-i+1}y^{i}+y^{n+1}

因为 1=(n+10)1={n+1\choose 0} 且 1=(n+1n+1)1={n+1\choose n+1} ，所以可以把 xn+1x^{n+1} 和 yn+1y^{n+1} 合并入sum

=∑i=0n+1(n+1i)x(n+1)−iyi=\sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose i}x^{(n+1)-i}y^{i}

显然仍符合二项式定理

证毕

其实还有更简单的感性理解一下：

考虑组合数定义，每种二项式得到的次数可以看作你在 nn 个数对中选出其中一项的指数个的不同的方案数，也就是(n指数){n\choose 指数}，加起来就成了整个式子。

[^1]: (nm)=(n−1m)+(n−1m−1){n\choose m}={n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}，nn个数里选kk个数的方案数即：选当前这个数和不选这个数的方案数的和